Covariância e Correlação

Covariância

Em geral observa-se que, quando os juros sobem, os preços das ações caem. Esse comportamento sugere que há uma covariância negativa entre as variáveis taxa de juros e preços de ações.

A covariância é uma medida de variação entre duas variáveis aleatórias. No caso em que os valores maiores de uma variável correspondem principalmente aos valores maiores da outra variável (e se o mesmo ocorrer com os valores menores), as variáveis tendem a mostrar comportamento semelhante. Isso significa que a covariância será positiva. Entretanto, se os valores maiores de uma variável correspondem principalmente aos valores menores da outra amostra, as variáveis tendem a mostrar comportamento oposto, e a covariância será negativa.

O sinal de covariância mostrará a tendência na relação linear entre as variáveis. Se o sinal for negativo, significa que as variáveis têm relação oposta, i.e. enquanto uma aumenta, a outra diminui. Já se o sinal for positivo, significa que a relação também é positiva, i.e. enquanto uma aumenta, a outra também aumenta. Vale ressaltar que isso não significa que aumentam e diminuem na mesma magnitude, pois a magnitude da covariância é de difícil interpretação, posto que ela não é normalizada, dependendo das magnitudes das variáveis.

Na versão normalizada da covariância, no entanto, o coeficiente de correlação mostra, através de sua magnitude, a força da relação linear. Resumindo:

Em que E representa o operador valor esperado e X, Y representam as amostras em estudo.

Assim, as covariâncias populacional e amostral podem ser descritas como:

Por exemplo, uma amostra do conjunto A = 2, 1, 2, 5 e do conjunto B = 8, 10, 12, 14 possuem covariância de 3,333, pois, aplicando a equação que vimos acima, teremos:

Quando a covariância é positiva, duas variáveis tendem a variar na mesma direção; isto é, se uma sobe, a outra tende a subir e vice-versa. Quando a covariância é negativa, duas variáveis tendem a variar em direções opostas; isto é, se uma sobe a outra tende a cair e vice-versa. Quanto mais próxima de zero for a covariância, menor a possibilidade de se identificar um comportamento interdependente entre as variáveis.

Nas finanças, por exemplo, o CDI e a rentabilidade de um fundo em DI possuem covariância positiva. Isso significa que caminham na mesma direção. Diferentemente da taxa de juros e do mercado acionário, que possuem covariância negativa, ou seja, em que o aumento dos juros diminui os investimentos do mercado acionário.

Correlação

A covariância busca mostrar se há um comportamento de interdependência linear entre duas variáveis, mas é uma medida dimensional, sendo afetada pelas unidades de medida das séries X e Y. Para corrigir esse problema, chegou-se à medida de correlação, uma normalização da covariância representado por um número adimensional que varia entre -1 e 1.

A correlação (ou coeficiente de correlação linear de Pearson) populacional e amostral é dada pelas fórmulas:

Ou seja, a correlação é a covariância de X e Y (σXY ou sXY) dividida pela multiplicação dos desvios padrão de X e Y (σX*σY ou sX*sY). Na parte direita da equação, os termos n ou n-1 se cancelam.

A grande propriedade possuída pelo coeficiente de correlação é que ele varia entre -1 e 1, revelando a magnitude da relação entre os comportamentos de duas variáveis, sem ser afetado pelo problema dimensional presente na covariância, que é incapaz de indicar a força da correlação. A interpretação do coeficiente se dá da seguinte forma:

• se ele assumir o valor -1, significa que as variáveis possuem correlação negativa perfeita. Isto é, quando X aumenta em uma unidade, Y recua na mesma magnitude;
• quando a correlação é igual a zero, as variáveis não são linearmente correlacionadas. Ou seja, uma variação em X não está associada a uma variação em Y de forma linear;
• por outro lado, quando a correlação é de 1, significa que as variáveis possuem correlação perfeita. A variação de X em uma unidade causa uma variação idêntica em Y e no mesmo sentido.

A correlação ainda possui uma propriedade adicional: se X e Y forem multiplicados ou divididos pelo mesmo valor, ela não se altera.

Figura – Correlação forte e positiva.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Figura – Correlação fraca e positiva.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Figura – Correlação não linear.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Exemplo:

Determinado investidor deseja saber se há uma correlação entre a taxa de câmbio (X) e o retorno do ativo Y. Para isso, pegou uma amostra da evolução da taxa de câmbio e do retorno do ativo no decorrer de três períodos.

Tabela - Evolução da taxa de câmbio.

Fonte: Elaborada pelo autor.

Qual o coeficiente de correlação das duas variáveis?

Resolução

Média de X e Y:

Covariância de X e Y:

Variância de X e Y:

Desvio padrão de X e Y:

Correlação:

Assim, há uma correlação de 0,826 entre a taxa de câmbio e o retorno do ativo Y.

Coeficiente de determinação

Outra medida importante de associação entre duas variáveis é o coeficiente de determinação, ou R². Definindo uma equação, ou modelo matemático, que relaciona duas variáveis, o R² seria a medida que nos informa o quão capaz esse modelo é de explicar o comportamento de uma variável em relação à outra. Ou seja, se trata de uma medida de ajuste que varia de zero a 1, indicando, em porcentagem, o quanto um modelo matemático consegue explicar os valores observados. Assim, quanto maior o R², mais explicativo é o modelo e melhor ele se ajusta à amostra. O coeficiente de terminação de um modelo de regressão linear é literalmente o coeficiente r, ou coeficiente de correlação linear de Pearson, visto nessa aula, elevado ao quadrado.

O R² possui uma capacidade de encontrar a probabilidade de eventos futuros dentro dos resultados previstos. Assim, caso mais amostras sejam adicionadas, o coeficiente mostrará a probabilidade de um novo ponto cair na linha estimada pela regressão. No entanto, é importante ressaltar que, mesmo quando há uma forte conexão entre as duas variáveis, a determinação não provará causalidade. Por exemplo, um estudo sobre aniversários que mostra que um grande número de aniversários acontece dentro de um período em determinado mês não significa que a passagem do tempo ou a mudança das estações do ano influencie na ocorrência de gravidez.