Introdução
Para compreender esta aula, o foco serão dois conceitos fundamentais: valor presente (Present Value – PV) e valor futuro (Future Value – FV). Para isso, vamos pensar sobre o valor do dinheiro no tempo, que adiante será aprofundado.
O valor do dinheiro no tempo corresponde à variação entre o dinheiro hoje e o valor deste em uma data futura, decorrente dos reflexos do tempo e da incidência das taxas de juros. Por exemplo, uma entrada de caixa de R$ 100.000,00 hoje é diferente de uma entrada de caixa de mesmo valor daqui a dois anos. Isso ocorre porque os R$ 100.000,00 daqui a dois anos estarão sujeitos à perda do poder de compra (inflação) e ao custo de oportunidade de ter utilizado o dinheiro em outra aplicação (juros).
É denominado valor presente (Present Value - PV) o valor atual de pagamentos futuros, o qual é identificado ao descontar destes pagamentos os efeitos que o modificam ao longo do tempo, como a taxa de juros.
Por outro lado, há o conceito de valor futuro (Future Value - FV), que nada mais é do que o valor de hoje acrescido da taxa de juros que incidirá sobre ele até seu vencimento. Ambos os conceitos estão diretamente relacionados. Logo, podemos afirmar que o valor presente é o valor futuro descontado dos juros, e o valor futuro é o valor presente acrescido dos juros.
Da mesma forma, quando tratamos de uma aplicação financeira, por exemplo, estamos nos referindo à variação de valor ao longo do tempo. Nesse caso, trata-se de uma taxa de juros que incide sobre uma quantia durante o período ou prazo de aplicação. Nesse contexto, a quantia aplicada seria o PV, e o montante resgatado ao final do prazo seria o FV.
Figura - Fluxo de Caixa Simples
Fonte: Elaborada pelo autor.
Após a definição desses conceitos, nosso foco será a explicação das taxas de juros simples e compostos e seus respectivos sistemas de capitalização.
Juros e regimes de capitalização
Juros simples
Caracteriza-se um caso de juros simples quando há uma taxa que sempre incide sobre o valor inicial da aplicação, o que significa que é uma taxa que retorna um valor fixo em todos os períodos de capitalização. Dessa forma, o montante (ou FV) será o valor inicial (ou PV) acrescido do produto entre os juros gerados em um período e o número de períodos, como segue matematicamente:
Tabela - Cálculo do montante e dos juros.
| Cálculo do Montante | Cálculo dos Juros |
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Fonte: Elaborada pelo autor.
Em que:
- M = FV = Montante;
- C = PV = Quantia aplicada;
- i = Taxa de juros;
- n = Períodos ou prazo.
Em um regime de capitalização simples, os juros são calculados apenas sobre o valor inicial da operação. Os juros gerados ao longo do tempo não são somados ao valor inicial, de modo que não há qualquer modificação na taxa nos períodos subsequentes. Em termos de FV e PV, a fórmula para a capitalização simples é a seguinte:
Perceba que apenas foram trocados os termos, mas não há qualquer modificação em relação à fórmula já apresentada.
Exemplo:
Um empreendedor aplicou R$ 5.000,00 pelo prazo de 24 meses, com taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual é o valor dessa aplicação?
Juros compostos
Um caso de juros compostos é caracterizado quando os juros de um período são acrescidos à quantia sobre a qual a taxa incidirá no período seguinte. Ou seja, o capital cresce de forma geométrica, pois, em cada período, os juros são adicionados à base de cálculo. Dessa forma, o montante (ou FV) é calculado como segue:
Tabela - Cálculo do montante.
| Cálculo do Montante | Cálculo dos Juros |
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Fonte: Elaborada pelo autor.
Em que:
- M = FV = Montante;
- C = PV = Quantia aplicada;
- i = Taxa de juros; e
- n = Períodos ou prazo.
A capitalização composta é uma função exponencial em que o capital cresce de forma geométrica. Em cada período, os juros são adicionados ao capital para formar uma nova base de cálculo. Diferentemente do regime de capitalização simples, no qual a capitalização só ocorre no final da aplicação, aqui a capitalização ocorre em cada período da aplicação. Em termos de FV e PV, a fórmula para a capitalização composta é a seguinte.
Perceba, novamente, que nada se alterou, tratando-se da própria fórmula de juros compostos.
Exemplo:
Pedro fez uma aplicação de R$ 1.000 para daqui a 5 meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, e gostaria de saber qual é o valor futuro do montante de recursos a receber:
Regime de capitalização contínua
No regime de capitalização composta, a incidência dos juros ocorre em períodos definidos, como dias, meses ou anos. Se diminuirmos o período de incidência para horas, minutos, segundos etc., até chegar em períodos infinitamente curtos, a capitalização será considerada contínua. Ela é calculada da seguinte maneira:
Em que:
- FV = Montante;
- PV = Quantia aplicada;
- e = Número de Euler = 2,71828...;
- i = Taxa de juros;
- n = Períodos ou prazo de aplicação.
Exemplo:
Um investidor aplicou R$ 1.000,00 por 12 meses à taxa de juros contínua de 1% ao mês. Qual é o valor final da aplicação?
Comparativo dos Regimes
Em geral, pela natureza das capitalizações, temos que quanto mais capitalizado for um capital, mais juros está incidindo sobre ele no tempo. Logo, é de se pensar que o regime de capitalização simples remunera menos que a capitalização composta, e o mesmo vale para a capitalização contínua. E está correto, basta observar os ganhos ao longo do tempo.
Figura - Evolução de R$ 1.000 investidos por 10 anos a 30% a.a. em diferentes regimes de capitalização.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Entretanto, veja que em t=1, todos os valores são iguais, já que a capitalização esta incidindo apenas sobre o PV, ou seja, somente sobre o capital inicial.
O único momento no qual a capitalização simples gerará maiores juros que a capitalização composta será quando t<1. Isso porque sua capitalização simples gerara um valor diretamente proporcional, porém, no regime composto, valores menores que 1 irão gerar retornos menores que os proporcionais.
Mas em qualquer outro momento, segue a lógica, quanto mais vezes o valor é capitalizado no tempo, melhor, e quanto maior o montante que a taxa incide, maior o valor final a ser resgatado.
