Séries de Pagamentos e Anuidades Pular para o conteúdo
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Séries de Pagamentos e Anuidades

Séries de Pagamentos e Anuidades

Séries de Pagamentos e Anuidades


Séries uniformes, anuidades ou rendas são pagamentos ou recebimentos sucessivos em financiamentos e investimentos, ou seja, são retiradas ou depósitos de caixa constantes. Se os pagamentos são finitos, a série é temporária; caso contrário, é chamada de permanente ou perpétua.

Exemplos:

  • Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de série temporária, pois é constante e periódica;
  • A renda mensal vitalícia da aposentadoria de uma previdência privada é uma série (ou renda) perpétua, pois utiliza o valor dos juros sobre o montante investido para gerar uma renda permanente.

As séries uniformes temporárias podem ser divididas em:

  • postecipadas;
  • antecipadas; e
  • diferidas.

 

Séries uniformes de pagamentos (ou recebimentos) postecipados

Séries postecipadas são séries em que o primeiro pagamento acontece no momento 1 (ou seja, não é no momento ZERO), de tal modo que o pagamento ou recebimento não exige entrada. Os pagamentos são designados por PMT (BRANCO, 2002).

Exemplo: Uma pessoa contratou um empréstimo que será pago em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 230,00. Sabendo que a taxa desse financiamento foi de 4,5% ao mês, determine o valor do empréstimo.

 

Figura - Dados do pagamento do empréstimo.

Fonte: Elaborada pelo autor. 

 

Observe que o pagamento das prestações começa no fim do período zero, ou seja, em t = 1.

Dados do problema:

  • PMT = 230;
  • i = 4,5;
  • n = 6; e
  • PV = ?

 

Obs.: Antes de começar um cálculo na calculadora financeira, é bom limpar os registros digitando [f][REG].

Por padrão, a HP-12C vem no modo postecipado. Se ela não estiver, digite na calculadora financeira [g][END].

Na calculadora financeira, digite nessa ordem:

[230][CHS][PMT]
[4.5][i]
[6][n]
[PV]

O valor presente (PV) desse empréstimo é de R$1.186,31.

Outra maneira de descobrir o valor presente de uma série uniforme postecipada é pela expressão:

 

 

Substituindo os valores do exemplo acima temos:

 

 

O valor futuro de uma série postecipada dá-se pela expressão:

 

 

E a prestação de uma série postecipada dá-se pela expressão:

 

 

Exemplo: Encontre o valor de oito pagamentos mensais (n) de um financiamento de R$ 63.345,66 (PV), em que a primeira parcela vence depois de 30 dias da liberação dos recursos financeiros, com uma taxa de juros contratual (i) de 5,5% ao mês.

 

 

O valor futuro de uma série uniforme pode ser interpretado como o valor final que o investidor terá após investir R$ PMT todo período a uma taxa de i% por n períodos.

Exemplo: Encontre o valor que um investidor acumula em sete meses ao se aplicar R$ 5.000,00 pela taxa de 6,75% (a.m.), ao fim de cada mês.

 

 

Séries uniformes de pagamentos (ou recebimentos) antecipados

As séries uniformes antecipadas são aquelas nas quais os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista. 

Exemplo: Uma loja de departamentos está vendendo um determinado modelo de máquina de lavar, cujo preço à vista é R$ 2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% a.m., em regime de juros compostos, pede-se a determinação do valor da prestação para cada um dos seguintes planos de financiamento com 1+24 prestações mensais; isto é, uma entrada, na data da compra, igual ao valor das 24 prestações mensais.

Dados do problema:

  • PMT = ?;
  • i = 1,25;
  • n = 25; e
  • PV = 2.000.

 

Figura - Determinação do PMT.

Fonte: Elaborada pelo autor.

 

Obs.: Antes de começar um cálculo na calculadora financeira, é bom limpar os registros digitando [f][REG].

Para colocar no modo antecipado, digite na calculadora financeira [g][BEGIN] (verifique na tela).

Na calculadora financeira, digite nesta ordem:

[2000][CHS][PV]
[25][n]
[1.25][i]
[PMT]

O valor da prestação é de R$92,49.

O valor presente de uma série antecipada dá-se pela expressão:

 

 

O valor futuro de uma série antecipada dá-se pela expressão:

 

 

E a prestação de uma série antecipada dá-se pela expressão:

 

 

Substituindo com os valores do primeiro exemplo temos:

 

 

A interpretação do valor futuro é a mesma da série postecipada, com a diferença que a primeira aplicação é feita no início do período. 

Exemplo: Encontre o valor futuro que um investidor acumula em doze meses, ao se aplicar R$ 3.000,00 pela taxa de 5,5% (a.m.), no início de cada mês:

 

 

Séries uniformes de pagamentos (ou recebimentos) diferidas

As séries uniformes diferidas são aquelas nas quais o primeiro pagamento é feito após um determinado período. Exemplo: promoções do tipo 'compre hoje e pague daqui a x meses'. Para calculá-la, é necessário usar conceitos do regime de capitalização composto e da série uniforme postecipada (ou antecipada)

Exemplo: Uma loja de departamentos está vendendo um determinado modelo de máquina de lavar, cujo preço à vista é R$ 2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% a.m., em regime de juros compostos, determine o valor da prestação para os planos de financiamento, com 15 prestações mensais, sendo a primeira daqui a 10 meses.

Esse problema pode ser visto de duas formas: uma série uniforme postecipada, diferida de 9 meses, ou uma série uniforme antecipada, diferida de 10 meses.

Considerando uma série uniforme antecipada, temos a seguinte solução:

1. Calcular o FV de quando começam as prestações

Dados do problema:

  • PV = 2.000;
  • i = 1,25;
  • n = 10; e
  • FV = ?

 

Figura - Cálculo do FV.

Fonte: Elaborada pelo autor.

 

Para colocar no modo antecipado, digite na calculadora financeira [g][BEGIN] (verifique na tela).

Digite nesta ordem:

[2000][CHS][PV]
[10][n]
[1.25][i]
[FV]

Resposta parcial: Valor após 10 meses é R$2.264,54.

 

2. Calcular o valor das parcelas

Dados do problema:

  • PV = 2.264,54;
  • i = 1,25;
  • n = 15; e
  • PMT = ?

 

Limpe o registro e digite nesta ordem:

[2264.54][CHS][PV]
[15][n]
[1.25][i]
[PMT]

O valor da prestação é de R$164,45.

 

Perpetuidade

É uma aplicação que paga valores por prazo indefinido (infinito). Para saber o montante capaz de gerar um pagamento fixo por prazo indefinido, basta dividir o valor desse pagamento pela taxa de juros. Observe a seguinte Figura:

 

Figura - Perpetuidade.

Fonte: Elaborada pelo autor. 

 

 

Exemplo: Um título paga um valor mensal perpétuo de R$ 1.000,00. Qual é o valor presente dessa aplicação considerando uma taxa de juros de 5% ao mês?

 

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