Séries uniformes, anuidades ou rendas são pagamentos ou recebimentos sucessivos em financiamentos e investimentos, ou seja, são retiradas ou depósitos de caixa constantes. Se os pagamentos são finitos, a série é temporária; caso contrário, é chamada de permanente ou perpétua.
Exemplos:
- Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de série temporária, pois é constante e periódica;
- A renda mensal vitalícia da aposentadoria de uma previdência privada é uma série (ou renda) perpétua, pois utiliza o valor dos juros sobre o montante investido para gerar uma renda permanente.
As séries uniformes temporárias podem ser divididas em:
- postecipadas;
- antecipadas; e
- diferidas.
Séries uniformes de pagamentos (ou recebimentos) postecipados
Séries postecipadas são séries em que o primeiro pagamento acontece no momento 1 (ou seja, não é no momento ZERO), de tal modo que o pagamento ou recebimento não exige entrada. Os pagamentos são designados por PMT (BRANCO, 2002).
Exemplo: Uma pessoa contratou um empréstimo que será pago em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 230,00. Sabendo que a taxa desse financiamento foi de 4,5% ao mês, determine o valor do empréstimo.
Figura - Dados do pagamento do empréstimo.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que o pagamento das prestações começa no fim do período zero, ou seja, em t = 1.
Dados do problema:
- PMT = 230;
- i = 4,5;
- n = 6; e
- PV = ?
Obs.: Antes de começar um cálculo na calculadora financeira, é bom limpar os registros digitando [f][REG].
Por padrão, a HP-12C vem no modo postecipado. Se ela não estiver, digite na calculadora financeira [g][END].
Na calculadora financeira, digite nessa ordem:
O valor presente (PV) desse empréstimo é de R$1.186,31.
Outra maneira de descobrir o valor presente de uma série uniforme postecipada é pela expressão:
Substituindo os valores do exemplo acima temos:
O valor futuro de uma série postecipada dá-se pela expressão:
E a prestação de uma série postecipada dá-se pela expressão:
Exemplo: Encontre o valor de oito pagamentos mensais (n) de um financiamento de R$ 63.345,66 (PV), em que a primeira parcela vence depois de 30 dias da liberação dos recursos financeiros, com uma taxa de juros contratual (i) de 5,5% ao mês.
O valor futuro de uma série uniforme pode ser interpretado como o valor final que o investidor terá após investir R$ PMT todo período a uma taxa de i% por n períodos.
Exemplo: Encontre o valor que um investidor acumula em sete meses ao se aplicar R$ 5.000,00 pela taxa de 6,75% (a.m.), ao fim de cada mês.
Séries uniformes de pagamentos (ou recebimentos) antecipados
As séries uniformes antecipadas são aquelas nas quais os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista.
Exemplo: Uma loja de departamentos está vendendo um determinado modelo de máquina de lavar, cujo preço à vista é R$ 2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% a.m., em regime de juros compostos, pede-se a determinação do valor da prestação para cada um dos seguintes planos de financiamento com 1+24 prestações mensais; isto é, uma entrada, na data da compra, igual ao valor das 24 prestações mensais.
Dados do problema:
- PMT = ?;
- i = 1,25;
- n = 25; e
- PV = 2.000.
Figura - Determinação do PMT.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Obs.: Antes de começar um cálculo na calculadora financeira, é bom limpar os registros digitando [f][REG].
Para colocar no modo antecipado, digite na calculadora financeira [g][BEGIN] (verifique na tela).
Na calculadora financeira, digite nesta ordem:
O valor da prestação é de R$92,49.
O valor presente de uma série antecipada dá-se pela expressão:
O valor futuro de uma série antecipada dá-se pela expressão:
E a prestação de uma série antecipada dá-se pela expressão:
Substituindo com os valores do primeiro exemplo temos:
A interpretação do valor futuro é a mesma da série postecipada, com a diferença que a primeira aplicação é feita no início do período.
Exemplo: Encontre o valor futuro que um investidor acumula em doze meses, ao se aplicar R$ 3.000,00 pela taxa de 5,5% (a.m.), no início de cada mês:
Séries uniformes de pagamentos (ou recebimentos) diferidas
As séries uniformes diferidas são aquelas nas quais o primeiro pagamento é feito após um determinado período. Exemplo: promoções do tipo 'compre hoje e pague daqui a x meses'. Para calculá-la, é necessário usar conceitos do regime de capitalização composto e da série uniforme postecipada (ou antecipada)
Exemplo: Uma loja de departamentos está vendendo um determinado modelo de máquina de lavar, cujo preço à vista é R$ 2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% a.m., em regime de juros compostos, determine o valor da prestação para os planos de financiamento, com 15 prestações mensais, sendo a primeira daqui a 10 meses.
Esse problema pode ser visto de duas formas: uma série uniforme postecipada, diferida de 9 meses, ou uma série uniforme antecipada, diferida de 10 meses.
Considerando uma série uniforme antecipada, temos a seguinte solução:
1. Calcular o FV de quando começam as prestações
Dados do problema:
- PV = 2.000;
- i = 1,25;
- n = 10; e
- FV = ?
Figura - Cálculo do FV.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para colocar no modo antecipado, digite na calculadora financeira [g][BEGIN] (verifique na tela).
Digite nesta ordem:
Resposta parcial: Valor após 10 meses é R$2.264,54.
2. Calcular o valor das parcelas
Dados do problema:
- PV = 2.264,54;
- i = 1,25;
- n = 15; e
- PMT = ?
Limpe o registro e digite nesta ordem:
O valor da prestação é de R$164,45.
Perpetuidade
É uma aplicação que paga valores por prazo indefinido (infinito). Para saber o montante capaz de gerar um pagamento fixo por prazo indefinido, basta dividir o valor desse pagamento pela taxa de juros. Observe a seguinte Figura:
Figura - Perpetuidade.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo: Um título paga um valor mensal perpétuo de R$ 1.000,00. Qual é o valor presente dessa aplicação considerando uma taxa de juros de 5% ao mês?
