Entender séries uniformes é obrigatório para quem vai prestar qualquer certificação do mercado financeiro. Esse é o conteúdo por trás de financiamentos, consórcios, aposentadorias e da maioria das questões de matemática financeira que caem na prova. A boa notícia: depois que você entende onde cai o primeiro pagamento, tudo fica mecânico.
O que são séries uniformes (anuidades)?
As anuidades nada mais são que fluxos de caixa, ou seja, pagamentos ou recebimentos sucessivos, exigíveis em épocas determinadas, com o objetivo de saldar uma dívida. Os maiores exemplos são os empréstimos e as compras a prazo.
Para trabalhar com uma série uniforme, você precisa conhecer três informações:
- O prazo total de pagamento: por exemplo, 8 anos.
- O valor pago em cada prestação: o famoso PMT.
- O período de vencimento: por exemplo, todo dia 15 do mês.
Em resumo: séries uniformes, anuidades ou rendas são pagamentos ou recebimentos sucessivos em financiamentos e investimentos, isto é, retiradas ou depósitos de caixa constantes. Se os pagamentos são finitos, a série é temporária. Caso contrário, ela é chamada de permanente ou perpétua.
Tipos de renda: como classificar as séries uniformes
Antes de calcular, é preciso classificar. As rendas podem ser divididas assim:
| Tipo de renda | Característica | Exemplo prático |
|---|---|---|
| Temporária | Possui prazo determinado | Financiamento de um eletrodoméstico |
| Perpétua | Fluxo "infinito", sem prazo final | Renda mensal vitalícia de previdência |
| Constante | Os pagamentos são iguais entre si | Parcelas fixas de R$ 230,00 |
| Variável | Os pagamentos são diferentes | Parcelas reajustadas a cada ano |
| Periódica | Os intervalos entre pagamentos são iguais | Vencimento todo dia 15 do mês |
Dois exemplos deixam a diferença clara. O financiamento de um eletrodoméstico é uma série temporária, pois é constante e periódica. Já a renda mensal vitalícia da aposentadoria de uma previdência privada é uma série perpétua, pois utiliza o valor dos juros sobre o montante investido para gerar uma renda permanente.
As séries uniformes temporárias, por sua vez, se dividem em três tipos: postecipadas, antecipadas e diferidas. É exatamente aí que a prova costuma pegar o candidato.
Ponto de prova: a única coisa que diferencia os três tipos é o momento em que ocorre o primeiro pagamento. Postecipada começa em t = 1, antecipada começa em t = 0 e diferida começa depois de um período de carência. Fixe isso e metade da questão já está resolvida.
Séries uniformes postecipadas: quando não há entrada
Séries postecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento acontece no momento 1, ou seja, não no momento zero. Assim, o pagamento ou recebimento não exige entrada. Os pagamentos são designados por PMT.
Exemplo resolvido: qual o valor do empréstimo?
Uma pessoa contratou um empréstimo que será pago em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 230,00. Sabendo que a taxa desse financiamento foi de 4,5% ao mês, determine o valor do empréstimo.
Repare que o pagamento das prestações começa no fim do período zero, ou seja, em t = 1. O fluxo de caixa fica assim:
| Momento | t = 0 | t = 1 | t = 2 | t = 3 | t = 4 | t = 5 | t = 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pagamento | R$ 0 | R$ 230 | R$ 230 | R$ 230 | R$ 230 | R$ 230 | R$ 230 |
Dados do problema: PMT = 230; i = 4,5; n = 6; PV = ?
Resolvendo na calculadora HP-12C
Antes de começar qualquer cálculo, limpe os registros digitando [f][REG]. Por padrão, a HP-12C já vem no modo postecipado. Se não estiver, digite [g][END].
- [230][CHS][PMT]
- [4.5][i]
- [6][n]
- [PV]
O valor presente (PV) desse empréstimo é de R$ 1.186,31.
Fórmulas da série uniforme postecipada
Outra maneira de descobrir o valor presente de uma série uniforme postecipada é pela expressão:
PV = PMT × [(1 + i)n - 1] ÷ [(1 + i)n × i]
Substituindo os valores do exemplo acima: PV = 230 × [(1 + 0,045)6 - 1] ÷ [(1 + 0,045)6 × 0,045], ou seja, PV = 230 × 5,1578726 = R$ 1.186,31.
O valor futuro de uma série postecipada é dado por:
FV = PMT × [(1 + i)n - 1] ÷ i
E a prestação de uma série postecipada é dada por:
PMT = PV × [(1 + i)n × i] ÷ [(1 + i)n - 1]
Exemplo: encontrando o valor da prestação (PMT)
Encontre o valor de oito pagamentos mensais (n) de um financiamento de R$ 63.345,66 (PV), em que a primeira parcela vence 30 dias após a liberação dos recursos, com taxa de juros contratual (i) de 5,5% ao mês.
Aplicando a fórmula: PMT = 63.345,66 × [(1,055)8 × 0,055] ÷ [(1,055)8 - 1], o que resulta em uma prestação de R$ 10.000,00.
Ponto de prova: a expressão "a primeira parcela vence 30 dias depois" é o sinal clássico de série postecipada. Quando aparecer "entrada" ou "primeira parcela no ato", a série é antecipada.
Exemplo: encontrando o valor futuro (FV)
O valor futuro de uma série uniforme pode ser interpretado como o valor final que o investidor terá após aplicar R$ PMT em todo período, a uma taxa de i% por n períodos.
Encontre o valor que um investidor acumula em sete meses ao aplicar R$ 5.000,00 a uma taxa de 6,75% ao mês, ao fim de cada mês:
FV = 5.000 × [(1,0675)7 - 1] ÷ 0,0675 = 5.000 × 8,588183 = R$ 42.940,92.
Séries uniformes antecipadas: quando existe entrada
As séries uniformes antecipadas são aquelas nas quais os pagamentos são feitos no início de cada período. O exemplo mais comum são os financiamentos com pagamento de entrada à vista.
Exemplo resolvido: 1 + 24 prestações
Uma loja de departamentos está vendendo um modelo de máquina de lavar cujo preço à vista é R$ 2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% ao mês, em regime de juros compostos, determine o valor da prestação para o plano de financiamento com 1 + 24 prestações mensais, isto é, uma entrada na data da compra igual ao valor das 24 prestações mensais seguintes.
Dados do problema: PMT = ?; i = 1,25; n = 25; PV = 2.000.
Perceba que, com entrada, o número total de pagamentos é 25, e não 24.
Resolvendo na calculadora HP-12C
Limpe os registros com [f][REG]. Para colocar a máquina no modo antecipado, digite [g][BEGIN] e confira o indicador na tela.
- [2000][CHS][PV]
- [25][n]
- [1.25][i]
- [PMT]
O valor da prestação é de R$ 92,49.
Fórmulas da série uniforme antecipada
O valor presente de uma série antecipada é dado por:
PV = PMT × [(1 + i)n - 1] ÷ [(1 + i)n-1 × i]
O valor futuro de uma série antecipada é dado por:
FV = PMT × {[(1 + i)n - 1] ÷ i} × (1 + i)
E a prestação de uma série antecipada é dada por:
PMT = (PV × i) ÷ {[1 - (1 + i)-n] × (1 + i)}
Substituindo com os valores do exemplo anterior: PMT = (2.000 × 0,0125) ÷ {[1 - (1,0125)-25] × (1,0125)}, ou seja, PMT = 25 ÷ [0,26697 × (1,0125)] = R$ 92,49.
Exemplo: valor futuro com aplicações no início do mês
A interpretação do valor futuro é a mesma da série postecipada, com a diferença de que a primeira aplicação é feita no início do período.
Encontre o valor futuro que um investidor acumula em doze meses ao aplicar R$ 3.000,00 a uma taxa de 5,5% ao mês, no início de cada mês:
FV = 3.000 × {[(1,055)12 - 1] ÷ 0,055} × (1,055) = R$ 51.860,39.
Ponto de prova: na HP-12C, esquecer de trocar entre [g][END] e [g][BEGIN] é o erro que mais derruba candidato em prova. Confira sempre o indicador "BEGIN" na tela antes de apertar [PMT] ou [PV].
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| Certificação | Como o tema aparece na prova | Curso preparatório |
|---|---|---|
| CPA, C-PRO I e C-PRO R | Valor presente, valor futuro, PMT e uso da HP-12C aplicados a produtos de investimento | Combo CPA + C-PRO I + C-PRO R |
| CFP | Planejamento de aposentadoria, perpetuidade e fluxos de caixa em planejamento financeiro | Curso CFP |
| ANCORD | Cálculos de séries uniformes aplicados a operações e produtos de renda fixa | Curso ANCORD |
| CFG, CGA e CGE | Matemática financeira aplicada à gestão de recursos e precificação de ativos | Curso CFG, CGA e CGE |
| CNPI | Fluxos de caixa descontados, perpetuidade e avaliação de empresas | Curso CNPI |
Séries uniformes diferidas: quando existe carência
As séries uniformes diferidas são aquelas nas quais o primeiro pagamento é feito somente após um determinado período de carência. O exemplo clássico são as promoções do tipo "compre hoje e pague daqui a x meses". Para calculá-la, é necessário combinar conceitos do regime de capitalização composto com os da série uniforme postecipada (ou antecipada).
Exemplo resolvido em duas etapas
Uma loja de departamentos está vendendo uma máquina de lavar cujo preço à vista é R$ 2.000,00. Se a taxa de juros cobrada for de 1,25% ao mês, em regime de juros compostos, determine o valor da prestação para o plano com 15 prestações mensais, sendo a primeira daqui a 10 meses.
Esse problema pode ser visto de duas formas: como uma série uniforme postecipada diferida de 9 meses, ou como uma série uniforme antecipada diferida de 10 meses. Vamos pela segunda:
Etapa 1: calcular o FV no momento em que começam as prestações.
Dados: PV = 2.000; i = 1,25; n = 10; FV = ?
Coloque a HP-12C no modo antecipado com [g][BEGIN] e digite:
- [2000][CHS][PV]
- [10][n]
- [1.25][i]
- [FV]
Resposta parcial: o valor após 10 meses é R$ 2.264,54.
Etapa 2: calcular o valor das parcelas.
Dados: PV = 2.264,54; i = 1,25; n = 15; PMT = ?
Limpe os registros e digite:
- [2264.54][CHS][PV]
- [15][n]
- [1.25][i]
- [PMT]
O valor da prestação é de R$ 164,45.
Ponto de prova: em séries diferidas, o valor "à vista" precisa primeiro ser capitalizado até a data do primeiro pagamento. Só depois se aplica a fórmula da série. Quem pula a etapa 1 sempre encontra uma prestação menor do que a correta.
Perpetuidade: a série que nunca acaba
A perpetuidade é uma aplicação que paga valores por prazo indefinido, ou seja, infinito. Nesse caso, o cálculo é o mais simples de todos: basta dividir o valor do pagamento pela taxa de juros.
PV = PMT ÷ i
Exemplo: um título paga um valor mensal perpétuo de R$ 1.000,00. Qual é o valor presente dessa aplicação considerando uma taxa de juros de 5% ao mês?
PV = 1.000 ÷ 0,05 = R$ 20.000,00.
Ou seja, aplicar R$ 20.000,00 a 5% ao mês gera exatamente R$ 1.000,00 por mês, indefinidamente, sem consumir o principal. É esse o raciocínio por trás da renda mensal vitalícia de uma previdência privada.
Quadro resumo: fórmulas das séries uniformes
| Série | 1º pagamento | HP-12C | Fórmula do PV |
|---|---|---|---|
| Postecipada | Em t = 1 (sem entrada) | [g][END] | PV = PMT × [(1+i)n - 1] ÷ [(1+i)n × i] |
| Antecipada | Em t = 0 (com entrada) | [g][BEGIN] | PV = PMT × [(1+i)n - 1] ÷ [(1+i)n-1 × i] |
| Diferida | Após a carência | Dois passos: FV e depois PMT | Capitaliza o PV até o início da série e aplica a fórmula correspondente |
| Perpétua | Fluxo infinito | Cálculo direto | PV = PMT ÷ i |
Exercícios comentados sobre séries uniformes
Questão 1
Um empréstimo será pago em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 230,00, à taxa de 4,5% ao mês, com a primeira parcela vencendo 30 dias após a contratação. O valor do empréstimo é de aproximadamente:
- a) R$ 1.380,00
- b) R$ 1.104,55
- c) R$ 1.186,31
- d) R$ 1.245,60
Gabarito: C. Como a primeira parcela vence após 30 dias, trata-se de uma série postecipada. Aplicando PV = 230 × [(1,045)6 - 1] ÷ [(1,045)6 × 0,045], chega-se a 230 × 5,1578726 = R$ 1.186,31. A alternativa "a" é a armadilha de quem apenas multiplicou 230 por 6, ignorando os juros.
Questão 2
Uma loja anuncia a campanha "compre hoje e pague daqui a 6 meses", com 12 parcelas mensais iguais. Esse fluxo caracteriza uma série uniforme:
- a) diferida
- b) postecipada simples
- c) antecipada simples
- d) perpétua
Gabarito: A. Existe um período de carência entre a compra e o início dos pagamentos, característica exclusiva das séries diferidas. Para resolver numericamente, seria necessário primeiro capitalizar o preço à vista até o mês do primeiro pagamento e só então calcular o PMT.
Questão 3
Um título paga perpetuamente R$ 1.000,00 por mês. Considerando uma taxa de juros de 5% ao mês, o valor presente dessa aplicação é de:
- a) R$ 5.000,00
- b) R$ 12.000,00
- c) R$ 15.000,00
- d) R$ 20.000,00
Gabarito: D. Na perpetuidade, PV = PMT ÷ i. Logo, PV = 1.000 ÷ 0,05 = R$ 20.000,00. Atenção ao converter a taxa: usar 5 em vez de 0,05 é o erro mais comum nesse tipo de questão.
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Referências bibliográficas
- ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas.
- BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Cengage Learning.
- PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: LTC.
