Valor Esperado e Variáveis Aleatórias

Valor esperado

A média de uma variável aleatória pode ser interpretada como a média dos valores assumidos pela variável aleatória e é também chamada de valor esperado. Sua aplicação é extremamente útil em finanças. Abaixo, tem-se a definição. Em seguida, veremos um exemplo.

 

 

No qual P(X) representa a probabilidade de que X ocorra.

Para fixar, vejamos um exemplo: suponha que um grupo de amigos compre um cartão de uma rifa a cada mês e que todo mês sejam vendidos mil bilhetes do sorteio por R$ 1 cada. Cada bilhete tem uma chance igual de ganhar o prêmio, sendo que o primeiro prêmio é de R$ 300, o segundo prêmio é de R$ 200 e o terceiro prêmio é de R$ 100. Podemos nos perguntar qual o ganho líquido potencial ao se comprar um desses bilhetes, isto é, qual será o valor esperado de X? Como são mil bilhetes e cada um possui igual possibilidade de ser vencedor, os resultados possíveis são:

 

Tabela – Valor esperado de X.

X300 – 1 = 299200 – 1 = 199100 – 1 = 99-1
P(X)1/10001/10001/1000997/1000

Fonte: Elaborada pelo autor. 

 

E o valor esperado da rifa é:

 

 

O quadro acima resume os valores de X e suas respectivas probabilidades de ocorrência e, na maioria das vezes (997 em 1000), o resultado é uma perda de R$1,00 usado para comprar o bilhete. Abaixo temos o cálculo do valor esperado, que nesse caso é negativo, igual a -R$0,40. Podemos dizer que se uma pessoa jogar nesta rifa muitas vezes, o resultado líquido se aproximará de uma perda de 40 centavos por jogada.

 

Variáveis aleatórias discretas e contínuas

Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa cujo valor depende de fatores aleatórios. Exemplos: número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas; número de itens defeituosos em uma amostra retirada aleatoriamente de um lote, etc.

Variável aleatória discreta: corresponde a uma função X, definida no espaço amostral Ω e assumindo valores em um conjunto enumerável de pontos da reta. X é considerada uma variável aleatória discreta se o número de valores possíveis de X for enumerável, finito (exemplo: 1, 2, …, n) ou infinito (1, 2, …)

Variável aleatória contínua: X é considerada uma variável aleatória contínua se o número de valores possíveis abrange todo um intervalo de números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2 podemos ter 1,10, mas também 1,1097…, 1,114843589… com infinitas casas decimais.

Variáveis como o número de pets em uma casa são chamadas de variáveis discretas, uma vez que os valores possíveis são pontos discretos. Por exemplo, uma família poderia ter três cachorros ou seis gatos, mas não 4,534… tartarugas. Outras variáveis, como “tempo para responder a uma pergunta”, são variáveis contínuas, uma vez que a escala é contínua e não é feita de etapas discretas. O tempo de resposta pode ser 5,4 segundos, ou pode ser 5,4584874… segundos. Os aspectos práticos da medida impedem que as variáveis mais medidas sejam verdadeiramente contínuas devido à nossa limitação em representá-las com infinitas casas.


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